Cthulhu22

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On dit que le malheur des un fait le bonheur des autres.

C'est pas faux car quand je vois ça, je suis bien content de ne plus faire de telles choses en maths !


sinon je ne peux pas trop t'aider, à part pour les questions qui sont le plus facile, où il me reste quelques bases, mais le reste ...

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lolo1865

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oups je ne peux pas t aider desole

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ad-rock

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Je ne peux pas t'aider non plus...

Ou alors en te proposant une aspirine peut-être ?

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fleming

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Exo 1:

(je note P le nombre Pi)
1) u^7=(e^2iP/7)^7= e^(7x2iP/7)=e^2iP=cos 2P + i sin 2P= 1+i0=1
2) T = e(6iP/7)+e(10iP/7)+e(12iP/7)

donc conj T = e( - 6iP/7)+e( - 10iP/7)+e( - 12iP/7)
(car conj (eiX)=e-iX)
(x e(2iP) cad e (14iP/7) "qui est égal à 1") --> conj T = e((14-6)iP/7)+e( (14- 10)iP/7)+e((14 - 12)iP/7) = e(8iP/7)+e(4iP/7)+e(2iP/7) = S
on a bien conj T = S

Im S = sin(2P/7)+sin(4P/7)+sin(8P/7) >0 car les deux premiers termes sont positifs (car arguments entre 0 et Pi) et val absolue (sin (8P/7)) < aux deux autres (donc a fortiori à leur somme)

3) S+T=S+conj S d'après2) = 2 x Re(S) = 2 (cos 2P/7 + cos 4P/7 + cos 8P/7) d'une part (*)

d'autre part :
S+T = u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6
c'est la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u et de raison u
donc par formule : somme = premier terme x [(raison)^nb termes - 1] / [raison - 1] (car raison <>1)
on a : S+T= u x [ u^6 - 1] / [u - 1]
en développant: " = [u^7 - u] / [u-1] = (1-u) / (u-1) = -1

donc S+T = -1
d'où d'après (*) : 2 (cos ... ) = -1
d'où cos (...) = -1/2 CQFD (question 4)


ST = Sx conj S = (module S)^2 = (cos 2P/7 + cos 4P/7 + cos 8P/7)^2 + (sin 2P/7 + sin 4P/7 + sin 8P/7)^2
" = (-1/2)^2 + (sin 2P/7 + sin 4P/7 + sin 8P/7)^2 (d'après 4°)
" = 1/4 + (sin 2P/7 + sin 4P/7 + sin 8P/7)^2 d'une part (**)

d'autre part : ST = (u+u^2+u^4) ( u^3+u^5+u^6)
en développant " = u^4+u^6+u^7+u^5+u^7+u^8+u^7+u^9+u^10
comme u^7=1, " = u^4+u^6+1+u^5+1+u+1+u^2+u^3
" = S+T+3
or S+T = -1 donc ST = -1+3 = 2

en comparant avec (**), on obtient:
1/4 + (sin...)^2 = 2
d'où (sin...)^2 = 2 - 1/4 = 7/4
d'où sin ... = Racine(7)/2 CQFD


désolé, j'ai fusionné les questions 3 et 4... rédige à l'endroit à ta sauce

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jeff932

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Salut !!

Je me demande si la convention de Genéve autorise ce genre de torture
mentale ??
Tu peux toujours repondre que tu es amnesiques
Nous ici,on connait juste le nombre de VOB,de BUP et d'IFO pour resoudre l'equation DVD
Et encore on y arrive pas toujours !
moi,je dis une bonne bouteille de Whisky pour oublier
De toute les façons,tu te rappelles pas de grand chose déjà

@+

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fleming

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Exo 2 :

1) z = r e i alpha Z= R e i Teta

Z = (r e i alpha ) ^3 / (2 + r^3)
d'où R e i Teta = r^3 e i 3alpha / (2 + r^3)

en égalant module et argument:

R = r^3 / (2 + r^3) et Teta = 3 alpha

2) a ) m(z) décrit C(O,1) donc r=1 et alpha varie de 0 à 2Pi
donc R = 1^3 / (2 + 1^3) = 1/3 et Teta = 3 alpha varie de 0 à 6 Pi
donc M(Z) décrit 3 fois le cercle de centre O et de rayon 1/3

b) m décrit la demi- droite [OT) donc r varie de 0 à +inf (soit encore r>0) et alpha = arg ( T(1-i) ) = - Pi / 4

donc R varie de 0 à 1 (car R < 1 puisque son dénominateur est inf à son numérateur)
et Teta= 3 alpha = -3 Pi / 4
cad que M(Z) décrit le segment [OU[ ATTENTION : U est exclu !!!où U a pour affixe e i (-3Pi/4)

3) a) f(x) = x^3 / (2+ x^3)

f est dérivable sur R+ (quotient de polynômes) et f'(x) = ... avec la formule (u/v)' = (u'v-uv')/v^2... = [3x^2 ( 2+x^3) - x^3 ( 3x^2) ] / (2+x^3)^2
f'(x) = 6x^2 + 3x^5 - 3x^5 / Deno = 6x^2 / Déno >= 0 (évident car x >0)
f'(x)>=0 donc f est croissante sur R+

or 0 <= f(x) < 1 car Num < Déno
donc l'image de I=R+ est l'intervalle [0;1[ (on montre facilement par limite des polynômes que lim f(x) = 1 en x--> +inf )


b) donc quand m(z) est quelconque, (cad quand on a r>=0 et alpha quelconque), d'après a), on aura 0<=R<1 et Teta quelconque, donc M(Z) sera à l'intérieur du disque de frontière C(0;1) (cercle exclus car R<1) cad de centre O et de rayon 1

ATTENTION je viens de me rendre compte que j'avais oublié d'exclure U à la question précédente.

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Edité par fleming le 02-01-2005 à 00:43

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jeff932

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J'en reviens pas !!

Fleming Médecin et bactériologiste,surtout reconnu pour sa découverte de la pénicilline nous
resoud l'equation !!

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DanLX

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c'est trop beau merci Fleming, merci, merci!!!!!!!!!!!!!

Hum aspirine fois 2 même un pour le dm et l'autre pour le pc, m'a planter tout à l'heure.

Je savais qu'oxmo me sauverais, ce forum est
(je devrais y venir plus souvant, entre deux dm )

Sinon pas mal l'humour, si si, ça ma fait rire, un peu de détente ça fait du bien

Merci encore!

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Alexiel

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c'est marrant, ça ressemble à une langue étrangère, mais venant d'une autre planète...

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fleming

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tu as raison, c'est très chiant à taper sans les symboles mathématiques...


exo 3:

1) après calculs,
u0 = 9
u1 = 5
u2 = 11/3
u3 = 29/9
...
(je te fais pas l'axe... )

donc on peut conjecturer que la suite est décroissante


2) u3 - u2 <> u2 - u1 (par exemple) donc la suite n'est pas artithmétique
de même, u3/u2 <> u2/u1 donc elle n'est pas non plus géométrique (j'ai eu la flemme de faire les calculs)

3) a) * u0 = 9 (a fortiori 3 < u0 < = 9 ) donc l'hyp est vraie pour n=0


* soit n>=0 vérifiant l'hyp : 3 < Un <= 9
alors 1 < 1/3 Un <= 3
d'où 3 < 1/3 Un +2 <= 5
soit 3 < U(n+1) <= 5 et a fortiori 3 < U(n+1) <= 9
donc l'hyp est vraie qqs n>=0 CQFD.

b) on a montré que qqs n>=0, Un > 3
donc 2/3 Un > 2
soit Un - 1/3 Un > 2
d'où Un > 1/3 Un + 2
cad Un > U(n+1)

donc la suite (Un)n est croissante CQFD.


4) a) n>=0 Vn = Un -3

V(n+1)/Vn = U(n+1)-3 / Un-3
= (1/3 Un + 2-3) / (Un-3)
= (1/3 Un - 1) / (Un-3)
= (1/3 Un - 1) / [3 ( 1/3 Un - 1) ] (astuce)
= 1/3

donc (Vn) est bien une suite géométrique, de raison 1/3 (et de premier terme V0 = u0-3 = 9-3=6) CQFD
d'après ton cours, Vn = q^n x V0 (où q est la raison) qqs n
d'où Vn = (1/3)^n x 6

b) Vn = Un - 3
donc Un = Vn + 3
d'où Un = (1/3)^n x6 + 3

quand n --> +inf, (1/3)^n tend vers 0 car 1/3 < 1, ( donc 6x(1/3)^n aussi) d'où Un --> 3

c) c'est chiant je peux pas faire le signe somme

V0+V1+ ... + Vn = V0 x [ q ^nb de termes - 1 ] / [q - 1 ] car q<> 1 (formule de la somme des termes d'une suite géométrique) (ATTENTION : k varie de 0 à n donc il y a n+1 termes !!!)

ici : " = 6 x [ (1/3)^(n+1) - 1] / (1/3 - 1) ... calculs...
" = - 9 x [ (1/3)^(n+1) - 1]
ou encore " = 9 x [ 1 - (1/3)^(n+1)]

d) Sn = Somme des Uk = Somme (Vk + 3) = Somme (Vk) + Somme (3) (tout ça à chaque fois pour k de 0 à n)
donc Sn = 9 x [ 1 - (1/3)^(n+1)] + 3 (n+1)

donc Sn tend vers +inf (à cause du second terme )

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Edité par fleming le 02-01-2005 à 12:03

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Taxi Driver

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Mr Fleming,

Chapeau bas pour vos connaissances, Mesdames, Messieurs, il y a des gens non seulemlent très serviables mais en plus très instruits sur ce forum, bravo

Je trouve que donner la réponse aussi vite mérite à tout le moins une

sinon une standing

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DanLX

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Désoler de mettre ce moyen de torture sur oxmo

La convention de genèvre hihi j'en parlerais à mon prof


Oui ça fait plaisir, en effet c'est très gentil et génereux de me consacrer du temps pour ce devoir, vraiment merci !


Ah vous verriez ma tête, sourire jusqu'aux oreilles et yeux bien ouvert, ah je respire, ça m'enlève un poids.
Formidable

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jeff932

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Les formules,c'est de la rigolade pour notre fleming !!
La pénicilline,c'etait une autre paire de manche

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fleming

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exo 4 :

1) an = 3^n = q^n x ao avec a0=1 et q=3 donc c'est une suite géométrique de raison 3 et premier terme 1
d'après la formule de la somme (cf avant), on a :
An = 1 x [3^(n+1) - 1 ] / (3-1) (car q<>1)
An = [3^(n+1) - 1 ] / 2


bn = -5n+10 = b0+nr avec b0=10 et r=-5 donc il s'agit d'une suite arithmétique de premier terme 10 et raison -5
tu trouveras facilement Bn avec la formule de la somme adéquate (désolé j'ai un trou... ça doit être l'heure... fais juste attention, le nb de termes est N+1 car k varie dans la somme de 0 à n)
edit : j'ai trouvé la formule (vive Google ! ) :
Somme des termes = nb de termes x (premier + dernier) / 2
donc Bn = (n+1) [b0 + bn]/2 = (n+1) [10 + (-5n+10)] /2 = (n+1) [-5n+20)] /2


on voit que cn = an + bn donc tu déduis facilement la somme avec les deux précédents
Cn = An + Bn
(car Cn = Somme (ck) = Somme (ak+bk) = Somme (ak) + Somme (bk) = An + Bn )

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Edité par fleming le 02-01-2005 à 02:02

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fleming

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2) a) Sn= somme (p+1) x somme (p-1) (p de 0 à n) (il y a encore N+1 termes !!!)

Somme (p+1) = (n+1) x ( 1 + n+1 )/2 (formule de la somme relative à la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1)
" = (n+1)(n+2) / 2

Somme (p-1) = (n+1) x ( -1 + n-1 )/2 (formule de la somme relative à la suite arithmétique de premier terme -1 et de raison 1)
" = (n+1)(n-2) / 2
d'où par produit, Sn = (n+1)^2 (n+2)(n-2) / 4 (ou encore (n+1)^2 (n^2 - 4) / 4 avec la 3 ème identité remarquable)


b) la récurrence marche bien, j'ai la flemme de la taper, fais moi signe si tu n'y arrives pas...


c) Sigma n = somme (p^2 - 1) = somme (p^2) - somme (1)
" = résultat du b - somme (1) (de 0 à n)
" = n(n+1)(2n+1) / 6 - (n+1)
( ou encore " = (n+1) [ n(2n+1) - 6 ] / 6 )

d) en comparant les deux résultats obtenus, on voit que sigma n <> Sn, la proposition est fausse (en développant, on a un polynôme de degré 4 et un de degré 3)

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Edité par fleming le 02-01-2005 à 02:28

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