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fleming |
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c'est reparti ! 
4) a) je retrouve pas la méthode simple, je me souviens juste que le DL de ln(1+x) au voisinage de 0 est:
ln (1+x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 - 1/4 x^4 ...
avec ça, on doit arriver à montrer :
pour x> = 0, x-1/2 x^2 <= ln (1+x) <= x 
edit: je suis bête, il y a plus simple:
tu poses f(x)= x - ln (1+x), la dérivée après calcul est f'(x)=x/(1+x) >=0 sur R+
donc f croissante sur R+ ; or f(0)=0, donc f(x) >=0 qqs x>=0, d'où ln(1+x) <= x (A)
de même, tu poses g(x)=ln (1+x) - (x+1/2 x^2)
on trouve g'(x) = x^2 / (1+x) >=0 pour x>=0, donc g croissante sur R+ ; or g(0)=0, donc g(x)>=0 qqs x>=0, d'où x-1/2 x^2 <= ln (1+x) (B)
en regroupant (A) et (B) : pour x> = 0, x-1/2 x^2 <= ln (1+x) <= x CQFD
b) d'après a) : comme k/n^2 >=0 qqs k>=0, on a pour n fixé>=0:
k/n^2 - 1/2 (k/n^2)^2 <= ln (1+ k/n^2) <= k/n^2
soit k/n^2 - 1/2 (k^2/n^4) <= ln (1+ k/n^2) <= k/n^2
en passant à la somme: qqsn>=0 (n fixé)
Somme (k= 1 à n) [k/n^2 - 1/2 (k^2/n^4) ] <= Somme (k= 1 à n) [ ln (1+ k/n^2)] <= Somme (k= 1 à n) [ k/n^2]
1/n^2 Somme (k= 1 à n) [k] - 1/2n^4 Somme[k^2] <= Sn <= 1/n^2 Somme (k= 1 à n) [ k]
or (on a déjà vu avec la formule de la somme pour suite arithmétique) que
Somme (k= 1 à n) [ k] = n(n+1)/2
et que Somme (k= 1 à n) [ k^2] = n(n+1)(2n+1)/6 (d'après question 2b) (on partait de p=0 et ici de k=1 mais ça ne change rien car pour p=0 le terme p^2 est nul)
d'où après calcul:
[(n+1)/2n] - [(n+1)(2n+1)/12n^3] <= Sn <= (n+1) / 2n
soit encore:
[(n+1) (6n^2 - 2n -1)] / 12n^3 <= Sn <= (n+1) / 2n
c) en faisant tendre n vers +inf, avec le théorème des "gendarmes", tu montres facilement que lim Sn = 1/2
en effet le membre de gauche y est équivalent à 6n^3/12n^3 (en "gardant" les monômes de plus haut degré) soit 1/2 et celui de droite à n/2n soit aussi 1/2...
on voit que Vn = S(n-1) (1 + 1/n)
soit Vn = S(n-1) + 1/n S(n-1)
en faisant tendre n vers + inf, le second terme tend vers 0 ( à cause de 1/n),
donc lim Vn = lim S(n-1) = 1/2
__________________
Les tôles ondulées mais les vaches aussi.
Edité par fleming le 02-01-2005 à 16:38
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02-01-2005 02:14
A moi d'être plus sérieux à présent enfin là je peux déjà voir comment c'est fait et comprendre 
mister Fleming !
chapeau 
